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【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】
硬核程度：☆☆☆☆☆
涉及领域：计算理论
大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？
可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。
以下开始：
首先，什么是可计算？
可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。
为了方便描述，先行约定一下数学符号。
假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。
比如，输入(3，4)输出12
输入(6，2)输出12
输入(0，6)输出0
这时，我们把这些输入数对叫做domain，输出的一个数叫做codomain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：
mult:Z^2→Z
中间的这个→表示这个mult是一个total function，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个domain里的输入，都能对应一个codomain里的输出。
与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：
div:Z^2—Z
这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）
好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。
后继函数：succ:N→N，succ(x)=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.
零函数：zero:Nn→N，zero=0。不管给它什么，它都输出0.
投影函数：projn:Nn→N，projin(x1，...，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22(1，3)=3。
好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。
我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：
f:Nn—N
具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x1，...，xm)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：
f·[g1，...，gn]:Nm—N
展开为：
f·[g1，...，gn](x1，...，xm)=f(g1(x1，...，xm)，...，gn(x1，...，xm))
举个栗子：
我们构造一个函数one，one(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：
one(x)=succ(0)=succ(zero(x))
即：succ·[zero]=one
验证一下：
succ·[zero](x)=succ(zero(x))=succ(0)=1
succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。
如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？
也很简单，从具体输入入手：
add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))
似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。
当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.
所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：
add(x，y+1)=succ(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。
更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))为递归条件。
看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。
也很显然，add(x，0)=x=proj11
于是，我们的加法器有了。
这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：
基准函数f:Nn—N
递归函数g:Nn+2... -->>
【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】
硬核程度：☆☆☆☆☆
涉及领域：计算理论
大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？
可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。
以下开始：
首先，什么是可计算？
可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。
为了方便描述，先行约定一下数学符号。
假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。
比如，输入(3，4)输出12
输入(6，2)输出12
输入(0，6)输出0
这时，我们把这些输入数对叫做domain，输出的一个数叫做codomain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：
mult:Z^2→Z
中间的这个→表示这个mult是一个total function，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个domain里的输入，都能对应一个codomain里的输出。
与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：
div:Z^2—Z
这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）
好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。
后继函数：succ:N→N，succ(x)=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.
零函数：zero:Nn→N，zero=0。不管给它什么，它都输出0.
投影函数：projn:Nn→N，projin(x1，...，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22(1，3)=3。
好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。
我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：
f:Nn—N
具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x1，...，xm)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：
f·[g1，...，gn]:Nm—N
展开为：
f·[g1，...，gn](x1，...，xm)=f(g1(x1，...，xm)，...，gn(x1，...，xm))
举个栗子：
我们构造一个函数one，one(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：
one(x)=succ(0)=succ(zero(x))
即：succ·[zero]=one
验证一下：
succ·[zero](x)=succ(zero(x))=succ(0)=1
succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。
如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？
也很简单，从具体输入入手：
add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))
似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。
当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.
所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：
add(x，y+1)=succ(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。
更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))为递归条件。
看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。
也很显然，add(x，0)=x=proj11
于是，我们的加法器有了。
这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：
基准函数f:Nn—N
递归函数g:Nn+2... -->>
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